Frequency Response 마지막

 

 

 

 

마지막으로 뭐 적을지 되게 고민하다가 그냥 bode plot 그리는 법 적고 마쳐야겠다

 

 

bode plot 은 gain 이랑 phase angle로 이루어져있으니

 

 

2개 다 그리는 법을 적겠음

 

 

 

 

Bode plot

 

 

1. DC gain 구하기

 

 

Gain 야매로 구하는 방법은 이전 글에서 간단하게 설명을 했는데

 

https://honour.tistory.com/39

Frequency Response 두 번째

 

 

DC gain 역시 비슷하게 야매로 구하는 방법이 있다

 

 

이렇게 모델링한 식이 있다고 가정하면

 

 

transfer function은 이렇게 나온다

 

 

그럼 DC gain은 s에다가 0을 대입한 값임

 

 

그럼 DC gain은 이 값이 나온다

 

 

 

 

이렇게 그려볼 수가 있겠다

 

 

 

2. Asymptote 그리기

 

 

다음은 점근선을 그리는 것이다

 

이걸 그리기 위해서는 zero와 pole을 구해야하는데

 

계산의 편리함을 위해

 

m=1

b=2

k=1

으로 정하고 계산하겠다

 

이 숫자를 대입시키면 다음과 같이 계산이 되는데

 

 

 

전달함수의 분모를 분해해보면

 

 

 

이렇게 나온다

 

그렇다는 말은

 

S = -1, -1

 

 

이제 이걸 이용해서 점근선을 그려볼건데

 

그리는 방법은 간단하다

 

 

1. DC gain 에서부터 시작한다

 

2. pole이나 zero가 나오기 전까지 직선으로 그린다

 

3. pole이 나오면 점근선의 기울기를 -1, zero가 나오면 기울기를 +1로 바꿔준다

 

4. 모든 pole 과 zero가 나올때마다 반복한다

 

 

 

그러면 이렇게 그려볼 수가 있겠다

 

여기서는 s=-1, -1 로 중복되기에

 

기울기가 -1이 아닌 -2가 된다

 

그리고 Bode plot의 x축은 베이스 10인 로그함수이다

 

 

이거 이므로 10^0에서 기울기를 -2로 바꿔주면 되겠다

 

 

3. 코너 gain 구하기

 

이제 코너 gain을 구해보자

 

위에서 zero나 pole이 나올때마다 점근선의 기울기가 변한다고 했는데

 

코너 gain은 기울기가 변하는 곳의 gain 값을 말한다

 

단순히 그리기만 할거면 안 구해도 되는데

 

그러면 시스템의 반응 값을 구할수가 없으니 구하는게 좋음

 

 

 

근데 중요한건 코너 gain에도 2가지가 있는데

 

1. 점근선 코너 gain

2. 진짜 코너 gain

 

점근선 코너 gain이 뭐냐면 실제로 Bode plot 을 그려보면

 

위에 점선으로 그려놓은 코너에 닿지 않는다

 

하지만 닿는다고 가정했을 때의 gain 값

 

진짜 코너 gain은 이제 점근선에 닿지 않은 진짜 gain 값을 말한다

 

코너 gain을 Gc, 점근선 코너 gain을 Gca라고 함

 

Gca를 구하는 값 역시 정석대로 구하는 방법이 있고

 

야매로 구하는 방법이 있다

 

우린 급하니까 야매로 구할거다 근데 좀 복잡할수도 있다

 

 

 

이게 야매 방법인데

 

설명을 해보자면

 

a와 b는 zero나 pole 상관없이 서로 가까이 있는 값을 나타낸다

 

예를 들어서 s=-1 -10 이라면

 

s=-1일때 점근선 코너 gain의 값은 DC gain이랑 똑같다

 

그럼 s=-10일 때 점근선 코너 gain의 값은

 

 

이렇게 나온다

 

만약 s=-1, -1, -10 이었으면

 

 

이렇게 나왔다

 

그럼 이제 코너 gain의 값을 구해볼건데

 

이거는 Gca값만 알면 금방 구할 수 있다

 

 

 

이걸 쓰면 된다

 

 

이렇게 그려볼 수가 있겠다

 

 

 

4. 그리기

 

이제 남은건 선과 점을 잇는 것 뿐

 

 

이렇게 그리면 끝!

 

예시가 쉬워서 금방 끝났지만 진짜 모델링하면 그냥 bode() 써야함

 

그래도 4th order 까지는 손으로 그리기 가능함

 

이제 phase angle도 그려보자

 

Phase angle

 

1. 시작 각도 구하기

 

시작 각도는 대부분 0도인데

 

예외가 있다면 zero나 pole의 값이 0인 경우이다

 

pole 마다 -90도, zero 마다 +90도 커진다

 

그래서 pole에 0이 있으면 -90도에서, zero에 0이 있으면 +90도에서 시작하면 된다

 

 

 

2. 각도 바뀌는 부분 찾기

 

이것도 1번에서 설명한 것처럼

 

모든 pole과 zero를 구한 뒤

 

pole 마다 -90도, zero 마다 +90도 커지는 것만 알아두면 된다

 

이 예시에서는 s=-1, -1 이므로, 0도에서 시작해 -180도로 끝난다

 

 

이렇게!

 

3. 그리기

 

이제 그리면 된다

 

한 가지 중요한 점은 각도가 커지거나 작아질때 중간 값은 eigenvalue에서 지나야함

 

 

 

 

 

 

 

MATLAB에서 bode()를 이용해서 그려보면 이렇게 나온다

 

 

끝!!