Transient Response 세 번째

원래 Frequency Response 세 번째를 적으려고 했는데

 

적다보니까 Transient response 에 대해서 깜빡하고 안 적은 게 있어서 마저 적는다.

 

 

 

https://honour.tistory.com/37

Transient Response 두 번째

 

위 링크를 보면 내가

 

b^2 > 4mk -> Overdamped

 

b^2 = 4mk -> Criticallydamped

 

b^2 < 4mk -> Underdamped

 

이렇게 정리를 해놓았는데

 

underdamped 일 경우는 다른 케이스에 비해 다른 부분이 있다.

 

그거슨 바로 s 의 값이 복소수라는 것.

 

 

1DOF, 2nd order의 기본 전달 함수의 eigenvalue 를 근의 공식을 이용해서 구해보면

이렇게 나온다. 근데 b^2 < 4mk 이기 때문에

 

 

이렇게 나오는데, 이 수식은 미리 적지만

 

 

이렇게 적을 수가 있다.

 

여기서 제타는 damping ratio, w_n 은 natural frequency, w_D 는 damped natural frequency 라고 부른다.

 

 

 

 

​damping ratio 란 

 

 

 

 인데, 여기서 b_crit 은 critical damping 라고 한다.

 

위 링크에 가서 밑에 보면 case 1, 2, 3 이 있는데 거기서 case 2 일때의 b 값을 바로 critical damping 이라고 한다.

 

damping ratio 가 1보다 크거나 같으면 2nd order 라고 1st order 시스템처럼 반응이 나온다. (케이스 1, overdamped)

 

natural frequency 는 damping 없이 자연적으로 가해지는 진동이라고 보면 되고,

 

 

이렇게 적을 수가 있겠다.

 

damped natural frequency 는 허수 부분 전체를 뜻하므로 따로 구할 필요는 없어보인다.

 

그럼 이제 어떻게 

 

 

이렇게 나오는지를 알아보자. 

 

 

 

damped natural frequency 는 따로 구할 필요는 없지만, 이걸 다르게 표현이 가능하다.

 

 

 

그럼 이제 damped natural frequency 도 알겠다,

이 것이 해가되는 2차방정식을 구해보면

 

이렇게 나온다.

 

 

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*참고로 이거를 라플라스 좌표계 (S-Plane) 로 표현하자면

 

 

이렇게 된다

 

각 축은 오른쪽 하단처럼 실수, 허수로 되어있고

 

 

 

그 말은 즉, 위 전달함수의 분모를 위 식으로 바꿔놓으면 아주 쉽게 제타와 natural frequency 를 구할 수가 있다.

 

이것들을 왜 구하냐면, 바로 시스템을 디자인 할 때 쓰이기 떄문이다.

 

어떻게 쓰이냐하면,

 

위 그래프를 보면 내가 4가지의 색으로 칠해놓은 게 있다.

 

하나하나씩 설명해보자면,

 

보라색 - Rise time (steady state 의 10% 에서 90% 까지 도달하는 시간)

검은색 - Peak time (맨 처음 peak 에 도달하는 시간)

녹색 - Settle time (대략 steady state 의 95%~99% 에 도달한 시간)

빨간색 - Maximum overshoot percentage (steady state 에서 최대치로 벗어난 퍼센트) (underdamped 일 경우에만)

 

이다.

 

식을 하나하나 써보자면

 

 

 

 

 

이렇게 된다. 이건 내가 증명하기도 너무 귀찮아서 그냥 이대로 쓰는게 낫다.

 

그리고 위 반응에 대한 4개의 변수를 구해보면

 

 

 

이렇게 나오는데

 

 M_p 는 퍼센트 이기때문에, steady state 의 값 곱하기 저 퍼센트를 하면 overshoot 최대 값을 구할 수가 있다.

 

 

 

 요롷게.

 

만약에 나는 rise time 을 낮추고 싶다면 natural frequency 를 높히면 되고

 

overshoot 을 낮추고 싶으면 제타를 높히면 되고

 

settle time 을 낮추고 싶으면 제타와 natural frequency 의 곱을 높히는 식으로 시스템을 디자인 할 수가 있다.

 

이 것은 후에 난중에 적을 컨트롤과 밀접한 연관성이 있으므로 잘 숙지해놓는 게 좋을 것 같다.