수학 논리

19세기 유럽

수학은 인간이 과학을 이해하게 도와주는 ㅆㅅㅌㅊ 학문이었다

하지만 수학에서도 무한은 인간이 건드릴 수 없는 영역이었다

무한은 신의 영역이라고 생각했기 때문이다

한 수학자가 물었다

"야 무한도 더할 수 있을까?"

그리고 이 질문은 수학계에 거대한 후폭풍을 가져운 거대한 날개짓이 되고 말았다!!

세상 만물은 정해진 법칙대로 움직인다!!

이것은 신이 그렇게 정해놓았기에 불변하며 완벽할 수밖에 없다!!!

하지만 거기엔 커다란 함정이 있었는데...

바로 "무한" 이었다!!!

궤적은 멀리서보면 곡선이다

하지만 가까이서보면 무수히 많은 점, 혹은 짧은 선들이 보인다

이 점 혹은 짧은 선들은 그때 그때의 정지된 움직임을 뜻한다

그랬다..저 점/짦은 선들이 짤이라면

사실 궤적은 무한 개의 짤을 한 짤 한 짤 이어서 만든 움짤이었던 것이었다!!!

 이것을 본 갈릴레이 갈릴레오가 무한에게 도전장을 내밀었다

갈릴레오는 원을 그리고 그 원에 내접하는 삼각형 사각형 오각형...n각형을 그려넣었다

그리고 원은 사실 무수히 많은 각을 가진 다각형이라는 걸 알아냈다 ㅗㅜㅑ....

하지만 갈릴레오는 곧 커다란 문제점을 맞이하게 된다

작은 원을 중심으로 무수히 많은 선을 그려서 원 안을 채워보자

그리고 작은 원 밖에 더 큰 원을 그리고

작은 원 안을 채운 선들을 쭉 바깥 원까지 늘려보니

작은 원 안에는 없던 공간이 생겨버렸다!

이럴수가!! 원을 무수히 많은 선으로 채워도 부족하다니!!

"무한은 신만이 이해할 수 있는 것이니

닝겐들은 꼭 필요할때 빼곤 쓰면안되는 개념이다!!"

이렇듯 예전부터 무한의 존재와 문제점을 알고있었지만

닝겐들은 어쨋든 아다리만 맞으면 됐기때문에 애써 무시하곤 했었다

"ㄴㄴ!!! 우린 무한을 이해해야한다!!

신은 모든 만물의 움직임을 수학으로 표현했다!

고로 무한 뒤에 우리가 모르는 또 다른 진리가 있을것이다!!"

게오르크 칸토어였다

(1845 ~ 1918)

*현대 집합론의 아버지

칸토어는 생각했다

"야 근데 1에다 1을 더할 수가 있으면...."

"무한에도 무한을 더할 수 있어야하는거 아니냐?!!"

이런 기발한 생각을 한 칸토어는 마침내 새로운 걸 발견했다

무한에도 급이있다!!

작은 무한

무한

큰 무한

엄청 큰 무한!!!

자연수는 무한개고 실수도 무한개다

근데 일대일 대응을 해도 자연수가 대응하지 못하는 실수가 존재한다!!

1에서 5까지 자연수와 그 사이에 있는 실수를 일대일대응 시킨다!!

그리고 실수의 n번째 자리수끼리 모아서...

거기에 1을 더한다!!!

그럼 기존에 대응되지 않았던 수가 등장한다!!!

대각선 법칙!!!!

고로 실수의 개수는 자연수의 개수보다 훨씬 더 많다!!

*이걸로 자연수의 개수는 짝수의 개수와 같다고 증명도 가능

자연수보다 실수가 더 큰 무한 집단이다!!!

무한보다 더 큰 무한이 있다는 이론..

집합론의 탄생이었다!!!

칸토어는 무한의 개념을 새로 정립했다

무한 뒤에 더 큰 무한, 그 뒤에 더 큰 무한, 더 큰 무한...

니가 어떤 무한을 가지고와도 난 그것보다 더 큰 무한을 가지고 오겠다!!!

그리고 칸토어의 집합론은 당시 많은 수학자들을 불편하게 만들기에 충분했다

"무한을 논하다니!! 신성 모독이다!!!"

이러한 칸토어의 이론은 발표와 동시에 비난과 비판을 받았지만

칸토어는 굴하지않고 여기서 멈추지 않았다

자연수는 작은 무한집합이고 실수는 그보다 큰 무한집합이다

과연 자연수와 실수 사이에 무한 집합이 있을까?

무한 집합간 크기의 관계!!

실수보다 작고 자연수보다 큰 애매한 무한집합은 없다!!!

바로 연속체 가설!!!

칸토어는 이걸 증명하는데에 남은 여생을 보냈다

하지만 몇 년이 지나도 증명하지 못했던 칸토어는

학문적 스트레스와 지속된 비난과 비판에 지쳐서

정신병원에 입원하게 되고 지속적으로 입원과 퇴원을 반복하게 된다

칸토어는 끝까지 연속체 가설을 증명을 하려고 노력을 했지만

결국 실패하고 1918년 세상을 떠나게 된다

*다비트 힐베르트

(1862 ~ 1943)

칸토어 사후, 집합론은 인정을 받았고

다음 세대의 수학자들은 이 집합론을 이용해

모순없는 논리, 완벽한 수학을 만들 수 있을거라고 믿었고

힐베르트는 힐베르트 프로그램을 만들어서 1+1=2증명부터 시작해

차근차근 수학의 완벽함을 선보였다

하지만 칸토어의 집합론에는 자기모순이라는 큰 문제가 있었다...

"심심한데 글이나 읽어야징ㅋ"

*버트런드 러셀

(1872 ~ 1970)

"?? 이거 칸토어 이론 좀 이상함 이렇게 가정하면 서로 모순됨"

여기 S라는 집합이 있는데

여기엔 자기 자신 S를 제외한 무수히 많은 집합들로 구성되어있다

근데 구성된 집합들 역시 자기자신을 제외한 집합들이다

그렇다면 S는 이 집합에 들어가야할까??

러셀의 역설!!

*이발사의 역설이나 거짓말쟁이 역설을 찾아봐도 됨!

이러한 역설은 집합론에 큰 오점을 남기고 말았다

"걱정 ㄴㄴ! 이러한 자기모순역설은 우리가 공리를 만들어서 해결하면 된다!!!

집합은 자기 자신을 원소로 할 수 없음!!! Q.E.D."

*ZFC 공리

칸토어가 남기고간 집합론은 완벽하다고 생각했던 논리에 불확실성, 모순을 가져다 주었고

*러셀의 역설

다음 세대 수학자들이 이러한 모순을 없애려고 엄청난 노력을 선보였다

그러나 이미 깨진 창문에 테이프를 붙인들 다시 완전해질수 있을까?

칸토어가 남기고간 여파를 잠재우려고 많은 수학자들이 노력을 했지만

이를 비웃듯, 한 남자가 나타나 칸토어의 뒤를 이어 수학자들을 절망에 빠뜨리게 한다

1930년 여름

카페에서 한 남자가 동료들과 얘기하던 중 자기가 연구하던 주제를 잠깐 언급했다

"아직 연구중이긴한데 여러 개의 명제가 모두 참이어도 증명이 불가능한 명제가 있는듯!!"

"??????? 그게 뭔 개소리야??"

그 남자는 쿠르트 괴델이었다

(1906 ~ 1978)

모든 명제가 참이어도 증명이 불가능한 명제가 있다!!!

아무리 공리를 추가해도 자기모순은 피할 수가 없어 수학은 불완전하다!!

1930년 9월 7일 괴델은 불완전성 원리를 발표함으로서

"우리가 절대로 알 수 없는게 있다!!" 라는걸 증명해냈다

*편의를 위해서 이렇게 쉽게 적음

그것도 양자역학이나 빅뱅 이론같은 고차원 물리가 아닌 순수 논리에서 말이다!!

괴델은 수학은 완벽하고 확실하다, 논리에 모순은 없다고 믿었던 사람이었으나

그의 불완전성 정리는 순수 수학을 이용해서

논리에도 한계가 있음을 명백히 증명하고 있다!!!

이 증명으로 인해 힐베르트가 만든 힐베르트 프로그램이

수학자들이 꿈꿨던 완벽한 수학 논리가 한순간에 무너져버렸다

저 새끼가 감히!!! 신성모독이다!!! 논리가 불완전하다니!!!

불완전성의 정리 증명 이후 괴델은 수학의 근본을 흔들었으며

칸토어와 같이 수많은 비난과 비판을 받았다

그렇게 수많은 질타를 받으면서도 괴델은 다른 난제에 도전했다.

바로 연속체 가설이었다!!!

하지만 연속체 가설을 증명하던 괴델은 극심한 스트레스를 받았고

칸토어와 마찬가지로 스트레스에 시달리다 요양원에 들어가게 되었다

이후 어마어마한 공을 들였음에도 결국 해결을 하지 못했다

*후에 부분은 증명하긴했는데 종결은 못시키고 다른 사람이 종결시킴

괴델이 증명한 논리의 한계는 충격과 공포였다

이미 수학계는 난리가 아니었다

하지만 풀 수 없는 문제는 안 풀면 그만! 이라는 생각에 곧 안정을 되찾았다

그리고 이런 혼란속에 더 큰 문제를 만든 사람이 나타나버렸으니...

세계 2차대전 당시 영국의 암호 해독 부서에서 일하는 남자가 있었다

엘런 튜링이었다

(1912 ~ 1954)

앨런 튜링은 독일군의 암호 에니그마를 해독한 걸로 유명한데

사실 그는 순수 논리의 한계를 증명하는 불완전성 원리에

기름을 들이부은 장본인이기도 했다

튜링은 컴퓨터는 논리를 다루는 기계이므로

만약 불완전성 원리처럼 논리에 진짜로 한계가 있다면

컴퓨터로도 풀지못하는 문제가 있다고 해석했다

"야, 컴퓨터."

???

"(문제)넣을게."

융기잇!!!

풀릴 지 안 풀릴지 알 수 없음...

튜링의 정지문제..컴퓨터로 해결이 불가능한 문제가 있다는 최초의 증명이었다

만약 괴델의 불완전성 정리처럼 만약 모든 명제가 참이어도 증명이 불가능한 문제라면

그 문제를 피해가면 되는것이다

하지만 튜링은 문제를 푸는데 엄청나게 어려운 것인지

아니면 해결이 불가능한 문제인지 닝겐은 도저히 알 방법이 없다고 증명했다

불완전성 정리의 튜링 버전이었다

예전부터 학자들은 수학과 논리의 확실성과 완전성을 가지고 모든 진리를 알아낼수 있다고 믿어왔다

하지만 칸토어의 집합론은 논리에 불확실성이 있음을 증명했고

괴델과 튜링이 이 불확실성은 영원히 사라지지 않음을 증명했다

끝!!!!!!