State Space Representation

 

Transient response랑 frequency response를 대충 끝냈으니

이번엔 State Space에 대해서 알아보자

상태 공간? 뭐 이런걸로 부를거같은데

나는 state space라고 부를거임

 

State space란 무엇이냐하면

 

 

일전에 알아봤던 transfer function (전달함수)와 비슷함

 

state space는 transfer function과 크게 다른 점이 하나 있는데

transfer function은

하나의 input과 output만 다룰 수있는 반면,
*Single Input, Single Output 줄여서 SISO

state space는

여러개의 input과 output을 동시에 다룰 수가 있다
*Multi-input, Multi-output 줄여서 MIMO

 

 

 

State space의 기본적인 식은

이렇게 나타낼 수 있겠다

 

좀 더 정확하게 나타내자면

 

이렇게 행렬도 나타내는게 맞는데 상관ㄴㄴ

 

참고로 이것도 식의 일부분이긴 한데

 

지금 당장은 안 쓰고 PID 컨트롤 다룰때 등장할 예정임

 

 

아무튼,

여기서 각 변수가 뭘 나타내냐하면

 

얘는 미분된 State로

 

우리가 시스템을 모델링할때 알아보고 싶은 상태/변수를 말한다

 

예를 들면 기본적인 스프링-댐퍼 시스템에서는 X나 V

 

전자회로 시스템에서는 I나 q

 

 

 

얘는 모델 행렬임

 

equation of motion 방정식을 구하면 A에 들어간다

 

얘는 그냥 State인데 미분된 State에서 그냥 적분하면 됨

 

 

얘는 Input 모델임

 

그냥 Step input일때는 크게 신경쓰지 않아도 된다

 

 

 

 

얘는 input 자체를 나타낸다

 

스프링-댐퍼 시스템에서는 F

 

전기회로에서는 V

 

 

예를 들어보자

 

 

많이 봤던 기본적인 스프링-댐퍼 시스템인데

 

이거는 1DOF/2nd order 시스템이다

 

왜 인지는

 

honour.tistory.com/35

DOF/System Order

여기를 참조하시면 되겠다

 

 

그럼 위 시스템을 state space로 한 번 적어보자

 

 

먼저 equation of motion을 구하고

 

이렇게 바꿔준다

 

그러면 준비 끝!

 

State space로는

 

 

이렇게 나타낼 수가 있겠다

 

말그대로 행렬을 공부했다면 이게 어떻게 계산되는지는 알거임

 

 

행여나 궁금할까봐 적어봄

 

빨간색 -b/m이랑 x미분이랑 곱하고 -k/m이랑 x랑 곱하고 서로 더함

 

파란색 1/m이랑 F랑 더하고 위에 계산한 값이랑 더하면

 

 

얘가 나옴

 

 

 

여기서 궁금증이 하나 생길 수도 있는데

 

 

이거는 왜 있는 걸까?

 

 

솔직히 말하면 나도 잘 모름;

 

행렬의 크기를 맞추기 위함이라고 함..암튼 식 자체는 참이니까 뭐..

 

 

 

 

저 예시를 보면 굳이 transfer function냅두고 state space를 써야하나 싶지만

 

degree of freedom이 높아지면 얘기가 달라진다

 

 

그러면 다른점을 확실히 알기 위해 2DOF 이상의 시스템을 봐보자

 

 

계산하기 쉬운건 전기회로라서 이걸로 함

 

 

이거는 2DOF/4th order 시스템이고

 

 

이 회로를 모델링하면 방정식은

 

 

이렇게 적을 수가 있겠다

 

 

honour.tistory.com/41

전기 시스템 모델링

 

왜 이렇게 나오는지는 위 링크를 슥 훑어보고 나오는 걸 응용하면 됨

 

 

그럼 이제 식도 구했으니 state space로 나타내보자

 

 

 

아까와 똑같이 식을 이렇게 바꿔주고

 

 

 

행렬에 맞춰 적어주면 된다

 

 

 

 

끝!!