Transient Response
오랜만에 글을 쓴다.
이번엔 Transient response (네이버 검색해보니 과도 응답 이라고 나옴) 에 대해서 알아보자.
Transient response 는 시스템의 시간이 지남에 따라 반응하는 걸 뜻한다.
예를 들면 스프링 댐퍼 시스템에 힘이 가해졌을 때 시간이 지날 수록 어떻게 바뀌는지.. 이런거
Transient response 에는 몇 가지 특징이 있는데
1. 미분 방정식의 homogeneous solution의 값에 따라 달라진다.
알다시피 미분 방적식의 해는 homogeneous solution 과 particular solution 으로 구성되어있다.
Transient response 를 알아볼 땐 particular solution도 중요하지만
homogeneous solution에 의해 달라진다는 말씀.
2. Eigenvalue 에 따라 달라진다.
여기서 Eigenvalue는 전달 함수의 분모의 해를 뜻한다.
그걸 안다면 시스템이 어떻게 움직이는지 알아 낼 수 있다는 말씀.
그리고 가장 중요한 건
사실 1번과 2번은 같은 말이다.
왜 그런지는 예시를 풀면서 알려주는 게 더 좋아보인다.
이렇게 모델링 된 시스템이 있다고 가정을 해보자. 저번과는 달리 이번엔 스프링을 없애 보았다.
그럼 당연하겠지만 시스템은 이제 1 DOF 에 1st order 시스템이 된다. 1st order 이라는 말은
Eigenvalue 가 하나라는 말이 된다는 것.
그리고 당연하게도 FBD도 그려준다. 그래야 식을 바로 세울 수 있기 때문.
깜빡하고 x 방향을 안그렸는데, 난 여기서 x는 -> 방향이 + 로 가정했다. 물론 반대로 해도 무방함.
난 여기서 dx/dt 를 v 로 바꿔줬는데 그건 내가 속도에 관해서 식을 세우고 싶었기 때문이다.
거리에 관해서 세우고 싶다면 바꾸지 말아야 한다.
그리고 정리를 해보면 이렇게 나오게 되는데
미분 방적식을 푸는 법은 다들 알고 있을텐데,
이렇게 선형 미분방정식일 때, x = Ae^st 로 해놓으면 무적권 풀린다.
무적권 풀리는 게 좋아서 이렇게 했다.
그리고 알맞게 대입을 한다면 이렇게 나올 것이다.
무적권 이렇게 나올거임. 안 나온다면 다시 한 번 체크를 해본다.
이렇게 정리를 해주고 양 변에 Ae^st 를 나눠주고 s 를 풀면 s = -b/m 이라는 값을 얻게 된다.
1. 미분 방정식의 homogeneous solution의 값에 따라 달라진다.
라고 내가 위에 적어놨는데 왜 그러냐하면
알다시피 homogeneous solution은 선형이 때 주로 xAe^at + yBe^bt 이런 식으로 된다.
그렇다. 저 a 와 b 값, 여기선 s 값을 나타내기 때문에 homogeneous solution의 값에 따라 달라진다고 한 것이다.
이번엔 전달 함수를 이용해서 Eigenvalue 를 구해보자.
그렇다. 이렇게 나온다.
Eigenvalue 는 굳이 안 적어도 알겠지만 s = -b/m 이 된다.
미분방정식으로 풀었을 때의 s 값과 같게 나왔다.
그렇단 말인 즉, 1번과 2번은 같은 말이라는 것이다.
그렇다면 어떻게 s 값을 통해서 이 transient response 를 다르게 바꿀 수 있는걸까?
그것도 곧 설명하겠다.
먼저 이 시스템의 반응을 MATLAB 그래프로 그려본다면,
이렇게 나온다.
난 f = 1, m = 1, b = 0.3 이라고 임의로 가정했다.
이 그래프를 보면 알겠지만, 대략 15초 정도가 지나면서부터 약 3.3의 값을 가지고 steady state (정상상태) 에 들어서게 된다.
우리가 봐야하는 부분이 바로 저 steady state 부분이다.
대체 언제 시스템이 steady state에 들어서게 되냐에 따라서 시스템의 반응이 빨라졌다 느려졌다 한다.
그리고 그 부분이 미분방정식의 homogeneous solution 과 eigenvalue (사실 둘 다 같은 답) 이 잘 알려준다.
steady state에 들어서는 순간을 알아내는 방법은 time constant 를 이용하는 것인데
이 time constant 가 무엇이냐 하면
steady state 에 언제 들어서는지 가늠케 하는 상수라고 한다. 혹은 e^-1이 되는 시간? 이라고도 한다.
이 time constant 를 구하는 공식은 밑과 같은데
tau 가 time constant, s 가 그렇게 찾았던 eigenvalue 이다.
귀찮아서 깊게 설명하진 않을 거지만 한 가지 중요한 것은,
time constant는 보통 4 나 5 time constant 가 되었을 때 steady state 에 들어섰다고 한다.
왜냐하면 4 time constant가 steady state 값의 대략 96%? 이고 5 time constant 가 대략 99%? 정도이기 때문이다.
정확한 수치는 1-e^-t 를 하면 된다.
그리고 다시 위의 그래프를 보면
대략 15초 이후라고 해놨는데
실제로 계산을 해보면,
s = -b/m = 0.3 이고
tau = 1/s = 3.3333 이 된다.
거기에 5 tau 를 구하면 (나는 주로 5 time constant 를 구함)
3.3333 * 5 = 16.6667 초.
steady state 의 99%를 구하면
3.33 * 0.99 = 3.2967 이 나온다.
실제 그래프와 비교해보면,
얼추 비슷하게 들어 맞는다.
그러하다.